AI也難突破哥德爾不完備定理

哥德爾（Kurt Friedrich Gödel；1906～1978）在現代邏輯上的成就是獨特而偉大的。事實上，哥德爾的成就不僅是一座學術紀念碑，更是長久屹立於學術歷史中的地標。邏輯學科因為哥德爾的成就而徹底改變其本質與發展可能性。

在哥德爾的偉大成就中，他的不完備定理（Incompleteness Theorems）是數理邏輯中的基本結果，宣示形式系統的內在局限性，尤其是那些能夠表達基本算術的系統。第一定理表明，任何足夠強大且一致的形式系統都不可能完備，這意味著該系統內會有無法使用自身證明的真命題。第二定理進一步指出，沒有一個系統能夠證明自身的一致性。

大型語言模型（LLM），如GPT-4，可以協助數學定理的證明，但與傳統方法相比，它們仍有明顯的限制。這些模型可以提出想法、建議步驟或提供解釋，這些都可能在證明構建過程中發揮作用。它們能處理某些符號運算並形式化某些證明，特別是那些遵循已知模式或來自數學文獻中的證明。

然而，LLM無法從零開始進行複雜或新穎定理的深度推論，因為它們的回應基於數據模式，而非形式邏輯推導。

一些專門設計來證明定理的AI系統，如Coq、Lean和Isabelle，依賴嚴格的形式邏輯，並能生成完全形式化的證明，且這些證明可經過驗證確保其正確性。相比之下，大型語言模型缺乏對邏輯和數學結構的形式理解。然而哥德爾的定理表明，某些真理無法由這些AI系統確立，且複雜系統的一致性無法從系統內部證明。

AI無法「打破」哥德爾定理，因為這些定理是邏輯學的基本結果。它們適用於任何具有一定複雜性的形式系統，並且已被證明無誤。由於AI運行依賴形式邏輯，它同樣受到哥德爾不完備定理的根本限制。

儘管AI無法打破哥德爾的定理，但它能幫助探討這些定理的影響，模擬不同的邏輯系統，並研究這些限制在各類數學框架中的具體表現。然而，AI無法獨立證明複雜或新穎的定理，也無法突破哥德爾不完備定理所設下的限制。

哥德爾說：「我只相信先驗的真理。世界的意義在於願望與事實的分離。數學要麼對人類心智而言過於龐大，要麼人類心智不僅僅是一部機器。事物本身與談論事物之間是有區別的（I only believe in a priori truth. The meaning of world is the separation of wish and fact. Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine. There is a difference between a thing and talking about a thing.）

在AI的協助下，我們或許能夠進一步探索數學的深邃領域，擴展人類心智的理解範圍。

 

哥德爾（Kurt Friedrich Gödel；1906～1978）。